试题分析: (Ⅰ) 由于f ′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x+1)(x-a),且a>0, 故f (x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增. 又f (0)=1,f (a)=-a3-a2+1=(1-a)(a+2) 2-1. 当f (a)≥-1时,取p=a. 此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立. 当f (a)<-1时,由于f (0)+1=2>0,f (a)+1<0, 故存在p∈(0,a)使得f (p)+1=0. 此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立. 综上,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1. 7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0,+∞)上的最小值为f (a). 当0<a≤1时,f (a)≥-1,则g(a)是方程f (p)=1满足p>a的实根, 即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根,所以 g(a)=. 又g(a)在(0,1]上单调递增,故g(a)max=g(1)=. 当a>1时,f (a)<-1. 由于f (0)=1,f (1)=(1-a)-1<-1,故[0,p]Ì [0,1]. 此时,g(a)≤1. 综上所述,g(a)的最大值为. 15分 点评:研究函数的性质往往离不开导数,导数是研究函数性质的有力工具,要灵活运用;另外,函数如果含参数,一般离不开分类讨论,分类讨论时要做到不重不漏. |