在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3),(0,3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)过点(0,3)作两条互相垂直的直线l1、
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在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3),(0,3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)过点(0,3)作两条互相垂直的直线l1、
题型:琼海一模
难度:
来源:
在直角坐标系xOy中,点P到两点
(0,-
3
)
,
(0,
3
)
的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点
(0,
3
)
作两条互相垂直的直线l
1
、l
2
分别与曲线C交于A、B和C、D,以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点,若能,求直线AB的斜率,若不能说明理由.
答案
(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以
(0,-
3
),(0,
3
)
为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴
b=
2
2
-
(
3
)
2
=1
,故曲线C的方程为
x
2
+
y
2
4
=1
.
(2)设直线
l
1
:y=kx+
3
,分别交曲线C于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),其坐标满足
x
2
+
y
2
4
=1
y=kx+
3
.
消去y并整理得
(
k
2
+4)
x
2
+2
3
kx-1=0
,
故
x
1
+
x
2
=-
2
3
k
k
2
+4
,
x
1
x
2
=-
1
k
2
+4
.
以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点,则
OA
⊥
OB
,即x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
而
y
1
y
2
=
k
2
x
1
x
2
+
3
k(
x
1
+
x
2
)+3
,
于是
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=-
1
k
2
+4
-
k
2
k
2
+4
-
6
k
2
k
2
+4
+3=0
,化简得-4k
2
+11=0,所以
k=±
11
2
举一反三
方程
x
2
k-3
+
y
2
k+3
=1表示椭圆,则k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x=
25
4
的距离的比是常数
4
5
,求M的轨迹.
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
、F
2
是椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的左右焦点,P是C上一点,3|
P
F
1
|•|
P
F
2
|=4b
2
,则C的离心率的取值范围是( )
A.
(0,
1
2
]
B.
(0,
3
2
]
C.
[
3
2
,1)
D.
[
1
2
,1)
题型:广东三模
难度:
|
查看答案
已知一动圆P(圆心为P)经过定点Q(
2
,0),并且与定圆C:
(x+
2
)
2
+
y
2
=16
(圆心为C)相切.
(1)求动圆圆心P的轨迹方程;
(2)若斜率为k的直线l经过圆x
2
+y
2
-2x-2y=0的圆心M,交动圆圆心P的轨迹于A、B两点.是否存在常数k,使得
CA
+
CB
=2
CM
?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
题型:越秀区模拟
难度:
|
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在椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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