已知一动圆P(圆心为P)经过定点Q(2,0),并且与定圆C:(x+2)2+y2=16(圆心为C)相切.(1)求动圆圆心P的轨迹方程;(2)若斜率为k的直线l经过

已知一动圆P(圆心为P)经过定点Q(2,0),并且与定圆C:(x+2)2+y2=16(圆心为C)相切.(1)求动圆圆心P的轨迹方程;(2)若斜率为k的直线l经过

题型:越秀区模拟难度:来源:
已知一动圆P(圆心为P)经过定点Q(


2
,0),并且与定圆C:(x+


2
)
2
+y2=16
(圆心为C)相切.
(1)求动圆圆心P的轨迹方程;
(2)若斜率为k的直线l经过圆x2+y2-2x-2y=0的圆心M,交动圆圆心P的轨迹于A、B两点.是否存在常数k,使得


CA
+


CB
=2


CM
?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
答案
(1)设P(x,y),动圆半径为r,则|PQ|=r.
因为点Q在圆C的内部,所以动圆P与定圆C内切,
所以|PC|=4-r.
所以|PC|+|PQ|=4>|CQ|=2


2

根据椭圆的定义,动圆圆心P的轨迹是以C、Q为焦点的椭圆.
因为椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,
故可设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

由2a=4,2c=2


2
,得a=2,c=


2
,b=


2

所以椭圆方程为
x2
4
+
y2
2
=1

所以动圆圆心P的轨迹方程为
x2
4
+
y2
2
=1

(2)假设存在常数k,使得


CA
+


CB
=2


CM



AM
=


MB
,所以M为AB的中点.
圆方程可化为(x-1)2+(y-1)2=2,
所以圆心M为(1,1).
因为直线l经过点M,
所以直线l的方程为y-1=k(x-1).





y-1=k(x-1)
x2
4
+
y2
2
=1

消去y得(1+2k2)x2+(4k-4k2)x+(2k2-4k-2)=0.
因为点M(1,1)在椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
的内部,
所以恒有△>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=
4k2-4k
1+2k2

因为M为AB的中点,
所以
x1+x2
2
=1

2k2-2k
1+2k2
=1

解得k=-
1
2

所以存在常数k=-
1
2

使得


CA
+


CB
=2


CM
举一反三
在椭圆
x2
25
+
y2
9
=1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标是______.
题型:不详难度:| 查看答案
P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上任意一点,P与两焦点连线互相垂直,且P到两准线距离分别为6、12,则椭圆方程为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
若方程ax2+by2=c的系数a、b、c可以从-1,0,1,2,3,4这6个数中任取3个不同的数而得到,则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是______.(结果用数值表示)
题型:宝山区一模难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(2,1),则a的取值范围是 ______.
题型:宝山区二模难度:| 查看答案
已知点F1(-4,0),F2(4,0),又P(x,y)是曲线(
x
5
)4+(
y
3
)4=1
上的点,则(  )
A.|PF1|+|PF2|=10B.|PF1|+|PF2|<10C.|PF1|+|PF2|≤10D.|PF1|+|PF2|≥10
题型:不详难度:| 查看答案
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