(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.(1)求f(x)的解析式;(2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单
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(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.(1)求f(x)的解析式;(2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
(本小题满分12分)
已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x
2
+2x+2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.
答案
(1) f(x)=
.
(2)其增区间为[-1,0)及(0,1],减区间为(-∞,-1]及[1,+∞).
解析
本试题主要是考查了函数的奇偶性和单调性的综合运用
(1)先根据已知条件,将函数设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)
2
-2x+2=-x
2
-2x+2,得到解析式。
(2)画出函数的 图像。,结合图像的饿到函数的单调区间。
(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)
2
-2x+2=-x
2
-2x+2,
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=x
2
+2x-2,
又f(0)=0,∴f(x)=
.
(2)先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,其图象如图所示:由图可知,其增区间为[-1,0)及(0,1],减区间为(-∞,-1]及[1,+∞).
举一反三
已知
是定义在R上的奇函数,满足
.当
时,
,则函数
在区间[0,6]上的零点个数是( )
A.3
B.5
C.7
D.9
题型:单选题
难度:简单
|
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偶函数
(
)满足:
,且在区间
与
上分别递减和递增,则不等式
的解集为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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设
是定义在R上的奇函数,且当
时,
已知a="f" (4),b="f" (
),c="f" (
),则
的大小关系为___
___.(用“
”连结)
题型:填空题
难度:简单
|
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若函数
为奇函数,则
.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
是定义在
上的偶函数. 当
时,
,则当
时,函数
的解析式为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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