设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数.(2)当
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数. (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式. (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011) |
答案
(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)为奇函数,∴-f(x)=-2x-x2. ∴f(x)=x2+2x.当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0]. ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4), 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8, ∴x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2004)+f(2005)+f(2006)+f(2007) =f(2010)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0. ∴f(0)+f(1)+…+f(2011)=0+…+0=0. |
解析
略 |
举一反三
若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. (1)已知函数f(x)=的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值; (2)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式; (3)在(1)(2)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围. |
设函数f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)求函数f(x)的最小值 |
已知为R上的奇函数,且满足当时,,则 A.-2 | B.2 | C. | D.98 |
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已知函数是定义在R上的奇函数,若在区间[1,a](a>2)上单调递增且。则以下不等式不一定成立的是 ( ) |
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