已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立,f(3)="-3." (1)证明:
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立,f(3)="-3." (1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数; (2)证明:函数y=f(x)是奇函数; (3)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域. |
答案
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解析
(1)证明 设x1,x2∈R,且x1<x2,f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1). 故f(x)是R上的减函数. (2)证明 ∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立,∴可令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0), 又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而x∈R,f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数. (3)解 由于y=f(x)是R上的单调递减函数, ∴y=f(x)在[m,n]上也是减函数,故f(x)在[m,n]上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n). 由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理f(m)=mf(1). 又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)="-m," f(n)=-n. ∴函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m]. |
举一反三
已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. |
.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. (1)试判断f(x)的奇偶性; (2)若-≤a≤,求f(x)的最小值. |
已知函数f(x)=( (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)证明:f(x)>0. |
已知函数,判断的奇偶性,并加以证明. |
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