已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,设不等式解集为A,B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)
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已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,设不等式解集为A,B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知奇函数
f
(
x
)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式
f
(
x
-3)+
f
(
x
2
-3)<0,设不等式解集为
A
,
B
=
A
∪{
x
|1≤
x
≤
},求函数
g
(
x
)=-3
x
2
+3
x
-4(
x
∈
B
)的最大值。
答案
-4
解析
由
且
x
≠0,故0<
x
<
,
又∵
f
(
x
)是奇函数,∴
f
(
x
-3)<-
f
(
x
2
-3)=
f
(3-
x
2
),
又
f
(
x
)在(-3,3)上是减函数,
∴
x
-3>3-
x
2
,即
x
2
+
x
-6>0,解得
x
>2或
x
<-3,
综上得2<
x
<
,即
A
={
x
|2<
x
<
},
∴
B
=
A
∪{
x
|1≤
x
≤
}={
x
|1≤
x
<
},
又
g
(
x
)=-3
x
2
+3
x
-4=-3(
x
-
)
2
-
知
g
(
x
)在
B
上为减函数,
∴
g
(
x
)
max
=
g
(1)=-4。
举一反三
已知奇函数
f
(
x
)的定义域为R,且
f
(
x
)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数
m
,使
f
(cos2
θ
-3)+
f
(4
m
-2
m
cos
θ
)>
f
(0)对所有
θ
∈[0,
]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数
m
的范围,若不存在,说明理由。
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数中的奇函数是( )
A.
f
(
x
)=(
x
-1)
B.
f
(
x
)=
C.
f
(
x
)=
D.
f
(
x
)=
题型:单选题
难度:一般
|
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函数
f
(
x
)=
的图象( )
A.关于
x
轴对称
B.关于
y
轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线
x
=1对称
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数
f
(
x
)的定义域关于原点对称且满足:
(i)
f
(
x
1
-
x
2
)=
;
(ii)存在正常数
a
使
f
(
a
)=1
求证:
(1)
f
(
x
)是奇函数.
(2)
f
(
x
)是周期函数,且有一个周期是4
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知三个正整数x,y,z的最小公倍数是300,并且
,则方程组的解(x,y,z)=
。
题型:填空题
难度:一般
|
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