已知函数f(x)=x2-2ax-(2a+2)(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)>x;(Ⅱ)若f(x)+3≥0在区间(-1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-2ax-(2a+2) (Ⅰ)解关于x的不等式f(x)>x; (Ⅱ)若f(x)+3≥0在区间(-1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
解(Ⅰ)由f(x)>x得x2-(2a+1)x-(2a+2)>0,即(x-2a-2)(x+1)>0, 当2a+2>-1,即a>-时,原不等式的解为x>2a+2或x<-1, 当2a+2=-1,即a=-时,原不等式的解为x∈R且x≠-1, 当2a+2<-1,即a<-时,原不等式的解为x>-1或x<2a+2. 综上,当a>-时,原不等式的解集为{x|x>2a+2或x<-1}; 当a=-时,解集为{x|x∈R且x≠-1}; 当a<-时,解集为{x|x>-1或x<2a+2}. (Ⅱ)由f(x)+3≥0得x2-2a(x+1)+1≥0在(-1,+∞)上恒成立, 即2a≤()min在(-1,+∞)上恒成立. 令t=x+1(t>0),则==t+-2≥2-2, 当且仅当t=等号成立 ∴()min=2-2, ∴2a≤2-2,即a≤-1. 故实数a的取值范围是(-∞,-1]. |
举一反三
定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当0≤x≤1时,f(x)=-8x2+8x,则f(-)=( ) |
已知f(x)是偶函数,f(x)在(-∞,0)上是增函数,且f(2a2-3a+2)<f(a2-5a+9),现知适合条件的a的集合是不等式2a2+(m-4)a+n-m+3>0的解集,求m和n的值. |
已知函数f(x)=x2+(lga-2)x+lgb满足f(1)=0, (1)求a+b的最小值及此时a与b的值; (2)对于任意x∈R,恒有f(x)≥2x-6成立.求a的取值范围. |
已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),若b、c满足c≥+1,且f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,则M的最小值为______. |
已知函数F(x)=ex满足F(x)=g(x)+h(x),且g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数,若∀x∈[1,2]使得不等式g(2x)-ah(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2) | B.(-∞,2] | C.(0,2] | D.(2,+∞) |
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