设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2（1）证明f（x）为奇函数．（2）证明f（x）在R
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）证明f（x）为奇函数．
（2）证明f（x）在R上是减函数．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范围． |
答案
（1）由于函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，可得f（0）=0．
再令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），即 0=f（x）+f（-x），化简可得f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（2）设x1＜x2，则△=x2-x1＞0，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（ x2-x1 ）=f（x2）-f（x1）．
再由当x＞0时，f（x）＜0，可得 f（ x2-x1 ）＜0，即-f（x1）+f（x2）＜0，故有f（x1）＞f（x2），
故f（x）在R上是减函数．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，则f（2x+5+6-7x）=f（11-5x）＞4．
再由f（1）=-2，可得f（ 11-5x）＞f（-2），结合f（x）在R上是减函数可得 11-5x＜-2，解得x＞，
故x的范围为 （，+∞）． |
举一反三
| 若不等式m＜，x∈[1，5]恒成立，则实数m的取值范围为______． |
| 设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[，+∞），f（）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是______． |
已知f（x）是偶函数，且在（-∞，0）上递减，若x∈[，1]时，f（ax+1）≤f（x+2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）| A．[-4，2] | B．（-∞，2] | C．[-4，+∞） | D．[-4，-2] |
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| 函数f(x)=．给出函数f（x）下列性质：（1）函数的定义域和值域均为[-1，1]；（2）函数的图象关于原点成中心对称；（3）函数在定义域上单调递增；（4）∫Af(x)dx=0（其中A为函数的定义域）；（5）A、B为函数f（x）图象上任意不同两点，则＜|AB|≤2．请写出所有关于函数f（x）性质正确描述的序号______． |
| 已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2023）等于（ ） |
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