设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[32，+∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是______．

题型：填空题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x²-1，对任意x∈[

3

2

，+∞），f（

x

m

）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是______．

答案

依据题意得

x2

m2

-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈[

3

2

，+∞)上恒定成立，
即

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1在x∈[

3

2

，+∞)上恒成立．
当x=

3

2

时，函数y=-

3

x2

-

2

x

+1取得最小值-

5

3

，所以

1

m2

-4m2≤-

5

3

，即（3m²+1）（4m²-3）≥0，
解得m≤-

3

2

或m≥

3

2

，
故答案为：（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）．