如果f(x)的图象关于y轴对称,而且在区间[0,+∞)为增函数,又f(-2)=0,那么(x-1)f(x)<0的解集为______.
题型:填空题难度:一般来源:不详
如果f(x)的图象关于y轴对称,而且在区间[0,+∞)为增函数,又f(-2)=0,那么(x-1)f(x)<0的解集为______. |
答案
∵f(x)的图象关于y轴对称, ∴函数f(x)是偶函数,可得f(-2)=f(2)=0, ∵偶函数f(x)在区间[0,+∞)为增函数, ∴f(x)在区间(-∞,0]为减函数, 不等式(x-1)f(x)<0等价于或 当x-1>0时,不等式f(x)<0成立,即f(x)<f(2),结合单调性可得0<x<2; 当x-1<0时,不等式f(x)>0成立,即f(x)>f(-2),结合单调性可得x<-2. 综上所述,可得(x-1)f(x)<0的解集为{x|0<x<2或x<-2} 故答案为:{x|0<x<2或x<-2} |
举一反三
已知f(x)是定义在实数集上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x. (1)当x<0时,求f(x)的解析式; (2)画出函数f(x)的图象; (3)写出函数f(x)的单调区间. |
下列函数是奇函数的有(填序号)______. ①f(x)=x|x|, ②f(x)=x+, ③f(x)=2x+1, ④f(x0=-x2+1. |
已知函数f(x)=x+, (1)证明函数f(x)是奇函数; (2)若a=1,求证函数在区间[1,+∞)上单调递增; (3)若函数在区间[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围. |
(1)判断函数f(x)=在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义法给出证明; (2)判断函数g(x)=x3+的奇偶性,并用定义法给出证明. |
设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3) (1)证明f(x)是偶函数; (2)指出函数f(x)的单调增区间; (3)求函数的值域. |
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