已知f(x)是定义在实数集上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x.(1)当x<0时,求f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的

已知f(x)是定义在实数集上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x.(1)当x<0时,求f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在实数集上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x
(1)当x<0时,求f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)写出函数f(x)的单调区间.
答案
(1)若x<0,则-x>0,
∵当x>0时,f(x)=2x
∴f(-x)=2-x
∵f(x)是定义在实数集上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即f(-x)=2-x=-f(x),
∴f(x)=-2-x,x<0.
(2)由(1)知f(x)=





2x,x>0
0,x=0
-2-x,x<0
,作出函数的图象如图:
(3)由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,+∞).
举一反三
下列函数是奇函数的有(填序号)______.
①f(x)=x|x|,
②f(x)=x+
1
x

③f(x)=2x+1,
④f(x0=-x2+1.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x+
a
x

(1)证明函数f(x)是奇函数;
(2)若a=1,求证函数在区间[1,+∞)上单调递增;
(3)若函数在区间[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
(1)判断函数f(x)=
2x-1
x-1
在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义法给出证明;
(2)判断函数g(x)=x3+
1
x
的奇偶性,并用定义法给出证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3)
(1)证明f(x)是偶函数;
(2)指出函数f(x)的单调增区间;
(3)求函数的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax3-bx+1,a,b∈R,若f(-1)=-2,则f(1)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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