已知f（x）是定义在实数集上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）的图象；（3）写出函数f（x）的

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已知f（x）是定义在实数集上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2^x．
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的单调区间．

答案

（1）若x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=2^x．

∴f（-x）=2^-x．
∵f（x）是定义在实数集上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=2^-x=-f（x），
∴f（x）=-2^-x，x＜0．
（2）由（1）知f（x）=

2x，x＞0

0，x=0

-2-x，x＜0

，作出函数的图象如图：
（3）由图象可知，函数的单调增区间为（-∞，+∞）．

举一反三

下列函数是奇函数的有（填序号）______．
①f（x）=x|x|，
②f（x）=x+

，
③f（x）=2x+1，
④f（x0=-x²+1．

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已知函数f（x）=x+

，
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）若a=1，求证函数在区间[1，+∞）上单调递增；
（3）若函数在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

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（1）判断函数f（x）=

2x-1

x-1

在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义法给出证明；
（2）判断函数g（x）=x3+

的奇偶性，并用定义法给出证明．

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设函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）指出函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数的值域．

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已知函数f（x）=ax³-bx+1，a，b∈R，若f（-1）=-2，则f（1）=______．

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