设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3)(1)证明f(x)是偶函数;(2)指出函数f(x)的单调增区间;(3)求函数的值域.
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3) (1)证明f(x)是偶函数; (2)指出函数f(x)的单调增区间; (3)求函数的值域. |
答案
(1)由于函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3)的定义域关于原点对称, 且满足f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x), 故函数f(x)为偶函数. (2)由于函数f(x)=,如图所示: 故它的单调增区间为[-1,0]、[1,+∞). (3)结合函数的图象可得函数没有最大值,当x=±1 时,函数取得最小值为-2, 故函数的值域为[-2,+∞).
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举一反三
已知函数f(x)=ax3-bx+1,a,b∈R,若f(-1)=-2,则f(1)=______. |
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,若f(x-1)<f(2),则实数x的取值范围是______. |
函数y=f(x)的图象与函数y=的图象关于y=x对称,则函数f(x)为______. |
设f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+3)=f(x),f(1)>1,f(2)=,则实数m的取值范围是______. |
对定义在区间D上的函数f(x),若存在闭区间[a,b]⊆D和常数C,使得对任意的x∈[a,b]都有f(x)=C,且对任意的x∉[a,b]都有f(x)>C恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“U型”函数. (1)求证函数f(x)=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数; (2)设函数f(x)是(1)中的“U型”函数,若不等式|t-1|+|t-2|≤f(x)对一切t∈R恒成立,求实数t的取值范围. (3)若函数g(x)=mx+是区间[-2,+∞)上的“U型”函数,求实数m和n的值. |
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