已知函数f(x)=-12+12x+1(1)证明:函数f(x)是奇函数.(2)证明:对于任意的非零实数x恒有x f(x)<0成立.

已知函数f(x)=-12+12x+1(1)证明:函数f(x)是奇函数.(2)证明:对于任意的非零实数x恒有x f(x)<0成立.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=-
1
2
+
1
2x+1

(1)证明:函数f(x)是奇函数.
(2)证明:对于任意的非零实数x恒有x f(x)<0成立.
答案
(1)∵函数f(x)=-
1
2
+
1
2x+1

f(-x)=-
1
2
+
1
2-x+1
=-
1
2
+
2x
1+2x
….(2分)
=-
1
2
+1-
1
1+2x
=
1
2
-
1
1+2x
=-f(x)
….(4分)
又函数f(x)的定义域为R,故函数f(x)为奇函数.….(5分)
(2)证明:令g(x)=x f(x)由(1)易知函数g(x)为偶函数,….(6分)
当x>0时,由指数函数的单调性可知:2x>1,
∴1+2x>2,….(7分)
可得0<
1
1+2x
1
2

-
1
2
<-
1
2
+
1
1+2x
=f(x)<0

故x>0时有x f(x)<0.….(8分)
又g(x)=x f(x)是偶函数,当x<0时,-x>0,
∴当x<0时g(x)=g(-x)<0,即对于x≠0的任何实数x,均有x f(x)<0.….(10分)
举一反三
偶函数f(x)的定义域为R,它在(0,+∞)是减函数,则下列不等式中成立的是(  )
A.f(-
3
4
)>f(a2-a+1)
B.f(-
3
4
)≤f(a2-a+1)
C.f(-
3
4
)<f(a2-a+1)
D.f(-
3
4
)≥f(a2-a+1)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若函数y=x2+ax+3为偶函数,则a=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
对任意正数x,y,不等式
x
3x+y
+
3y
x+3y
≤k
恒成立,则实数k的取值范围是(  )
A.[
5
4
,+∞)
B.[
6-


3
4
,+∞)
C.[1,+∞)D.[
6


3
4
,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=
m•3x-1
3x+1
是定义在实数集R上的奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若x满足不等式4x+
1
2
-5•2x+1+8≤0
,求此时f(x)的值域.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
给出函数f(x)=loga
x+2
x-2
(a>0,a≠1)

(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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