选修4-5:不等式选讲已知函数f(t)=|t+1|-|t-3|(I)求f(t)>2的解集;(II)若a>0,g(x)=ax2-2x+5,若对任意实数x、t,均有
题型:解答题难度:一般来源:不详
选修4-5:不等式选讲 已知函数f(t)=|t+1|-|t-3| (I)求f(t)>2的解集; (II)若a>0,g(x)=ax2-2x+5,若对任意实数x、t,均有g(x)≥f(t)恒成立,求a的取值范围. |
答案
(I)由函数f(t)=|t+1|-|t-3|>2可得 ①,或②,或③. 解①得t∈∅,解②得 2<t<3,解③得 t≥3. 综上可得,不等式的解集为{t|t>2}. (II)∵a>0,g(x)=ax2-2x+5,若对任意实数x、t,均有g(x)≥f(t)恒成立, 故有gmin(x)≥fmax(t). 由题意可得,当x=时,g(x)取得最小值为gmin(x)=. 而由绝对值的意义可得f(t)的最大值等于4, ∴≥4,解得 a≥1, 故a的取值范围为[1,+∞). |
举一反三
已知函数f(x)=(x+5)(x+2),g(x)=x+1. (1)若x>-1,求函数y=的最小值; (2)若不等式f(x)>ag(x)在x∈[-2,2]上恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=,则该函数是( )A.非奇非偶函数,且单调递增 | B.偶函数,且单调递减 | C.奇函数,且单调递增 | D.奇函数,且单调递减 |
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设f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)+xf′(x)>0,若f(3)=5,且当x∈(-∞,-a)∪(a,+∞),a>0时,不等式|f(x)|>恒成立,则a的取值范围是______. |
已知函数f(x)=xex. (I)求f(x)的单调区间与极值; (II)是否存在实数a使得对于任意的x1,x2∈(a,+∞),且x1<x2,恒有>成立?若存在,求a的范围,若不存在,说明理由. |
定义域里的任意x都满足______,则f(x)为偶函数. |
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