已知函数f(x)=xex.(I)求f(x)的单调区间与极值;(II)是否存在实数a使得对于任意的x1,x2∈(a,+∞),且x1<x2,恒有f(x2)-f(a)

已知函数f(x)=xex.(I)求f(x)的单调区间与极值;(II)是否存在实数a使得对于任意的x1,x2∈(a,+∞),且x1<x2,恒有f(x2)-f(a)

题型:解答题难度:一般来源:济南一模
已知函数f(x)=xex
(I)求f(x)的单调区间与极值;
(II)是否存在实数a使得对于任意的x1,x2∈(a,+∞),且x1<x2,恒有
f(x2)-f(a)
x2-a
f(x1) -f(a)
x1-a
成立?若存在,求a的范围,若不存在,说明理由.
答案
(I)由f′(x)=e(x+1)=0,得x=-1;
当变化时的变化情况如下表:可知f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),递增区间为(-1,+∞),
f(x)有极小值为f(-1)=-
1
e
,但没有极大值.
(II)令g(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)=(xex-aea)/(x-a),x>a,
则[f(x2)-f(a)]/(x2-a)>[f(x1)-f(a)]/(x1-a)恒成立,
即g(x)在(a,+∞)内单调递增这只需g′(x)>0.而g′(x)=[ex(x2-ax-a)+aea]/(x-a)2
记h(x)=ex(x2-ax-a)+aea
则h′(x)=ex[x2+(2-a)x-2a]=ex(x+2)(x-a)
故当a≥-2,且x>a时,h′(x)>0,h(x)在[a,+∞)上单调递增.
故h(x)>h(a)=0,从而g′(x)>0,不等式(*)恒成立
另一方面,当a<-2,且a<x<-2时,h′(x)<0,h(x)在[a,-2]上单调递减又h(a)=0,所以h(x)<0,
即g′(x)<0,g′(x)在(a,-2)上单调递减.
从而存在x1x2,a<x1<x2<-2,使得g(x2)<g(x1
∴a存在,其取值范围为[-2,+∞)
举一反三
定义域里的任意x都满足______,则f(x)为偶函数.
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已知不等式|x-a|>x-1对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.
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已知m>0,a1a2>0,则使得
m2+1
m
≥|aix-2|(i=1,2)
恒成立的x的取值范围是(  )
A.[0,
2
a1
]
B.[0,
2
a2
]
C.[0,
4
a1
]
D.[0,
4
a2
]
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知∀x∈R,f(1+x)=f(1-x),当x≥1时,f(x)=ln(x+1),则当x<1时,f(x)=______.
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下列函数:①f(x)=3|x|,②f(x)=x3,③f(x)=ln
1
|x|
,④f(x)=cos
πx
2
,⑤f(x)=-x2+1中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减函数为______(写出符合要求的所有函数的序号).
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