设定义在R上的函数f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时f(x)取得极大值23,且函数y=f(x
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设定义在R上的函数f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时f(x)取得极大值23,且函数y=f(x
题型:解答题
难度:一般
来源:宣武区一模
设定义在R上的函数f(x)=a
0
x
4
+a
1
x
3
+a
2
x
2
+a
3
x+a
4
(a
0
,a
1
,a
2
,a
3
,a
4
∈R),当x=-1时f(x)取得极大值
2
3
,且函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间[-
2
,
2
]上.
答案
(1)将函数y=f(x+1)的图象向右平移一个单位,得到函数y=f(x)的图象,
∴函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)是奇函数,
∴f(x)=a
1
x
3
+a
3
x
∴f
′
(x)=3a
1
x
2
+a
3
由题意得:
f
′
(-1)=3
a
1
+
a
3
=0
f
(-1)=-
a
1
-
a
3
=
2
3
所以
a
1
=
1
3
a
3
=-1
,
f(x)=
1
3
x
3
-x
经检验满足题意
(2)由(1)可得f
′
(x)=x
2
-1
故设所求两点为
(
x
1
,f(
x
1
)),(
x
2
,f(
x
2
))(
x
1
,
x
2
∈ [-
2
,
2
])
f
′
(x
1
)•f
′
(x
2
)=(x
1
2
-1)(x
2
2
-1)=-1
∵x
1
2
-1,x
2
2
-1∈[-1,1]
∴
x
22
-1=-1
x
21
-1=-1
或
x
21
-1=1
x
22
-1=-1
x
1
= 0
x
2
=±
2
或
x
1
=±
2
x
2
= 0
∴满足条件的两点的坐标为:
(0,0),
(
2
,-
2
3
)
或
(0,0) ,(-
2
,-
2
3
)
举一反三
函f(x)=2
x
-2
-x
在定义域上是( )
A.偶函数
B.奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数:(1)
f(x)=
1
x
,(2)f(x)=
1
3
x
3
-x;(3)f(x)=cosx
;(4)
f(x)=
1
2
e
x
-x
;(5)f(x)=log
2
x
其中f(x)对于区间(0,1)上的任意两个值x
1
,x
2
(x
1
≠x
2
),恒有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤|x
1
-x
2
|成立的函数序号是______(请把你认为正确的函数序号都填上).
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
e
x
x
2
+x+1
-
3
e
2
49
(e是自然对数的底数),g(x)=ax(a是实数).
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若在[2,+∞)上至少存在一点x
0
,使得f(x
0
)<g(x
0
)成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=f(x)是定义在[a,b]上的增函数,其中a,b∈R,且0<b<-a,已知y=f(x)无零点,设F(x)=f
2
(x)+f
2
(-x),则对于函数y=F(x)有如下四种说法:①定义域是[-b,b];②最小值是0;③是偶函数;④在定义域内单调递增.其中正确的说法是( )
A.①②③
B.②④
C.①③
D.①④
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数f(x)=x
3
+x,若
0<θ≤
π
2
时,f(mcosθ)+f(1-m)>0恒成立,则m取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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