(I)∵y=ax2+(b+)x+c+3是偶函数, ∴-=0,b=- 又∵图象过原点, ∴c=-3 (II)当a=时, f′(x)=(x2-x-3)+(x-)=(x2-2x-3) 令f′(x)>0得函数单调递增区间是(3,+∞), 令f′(x)<0得函数单调递减区间是(0,3), (III)∵函数f(x)的图象上垂直于y轴的切线, ∴方程f′(x)=0存在正根, f′(x)=(ax2-x-3)+(2ax-)=(5ax2-2x-3) 即5ax2-2x-3=0存在正根,△=4(1+15a) ①当a<-时,△<0,方程5ax2-2x-3=0无实数根, 此时函数f(x)的图象上没有垂直于y轴的切线 ②当a=-时,△=0,方程5ax2-2x-3=0根为x=-3, 此时函数f(x)的图象上存在一条垂直于y轴的切线 ③当-<a<0时,△>0,方程5ax2-2x-3=0有两个实数根x1,x2,x1+x2=<0,x1x2=->0,方程5ax2-2x-3=0有两个负实数根 此时函数f(x)的图象上没有垂直于y轴的切线 ④a>0时,△>0,方程5ax2-2x-3=0有两个实数根x1,x2x1+x2=>0,x1x2=-<0,方程5ax2-2x-3=0有两一个正实数根和一个负实数根,此时函数f(x)的图象上存在一条垂直于y轴的切线 综上: 当a<-或-<a<0时,不存在垂直于y轴的切线 当a=-或a>0时,存在一条垂直于y轴的切线 |