(Ⅰ)将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位,得到y=f(x)的图象, 所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即y=f(x)是奇函数, 所以f(x)=a1x3+a3x,由题意,得 | f′(-1)=3a1+a3=0 | f(-1)=-a1-a3= |
| | ⇒所以f(x)=x3-x.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f"(x)=x2-1, 假设存在两切点为(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) (x1,x2∈[-,]), 则f"(x1)•f"(x2)=(x12-1)(x22-1)=-1.因为(x12-1)、(x22-1)∈[-1,1] 所以或即或 从而可得所求两点的坐标分别为(0,0),(,-)或(0,0),(-,). (Ⅲ)因为当x∈[,1)时,f"(x)<0,所以f(x)在[,1)递减. 由已知得xn∈[,1), 所以f(xn)∈(f(1),f()],即f(xn)∈(-,-]. 注意到x<-1时,f′(x)>0,-1<x<1时,f′(x)<0, 故f(x)在(-∞,-1)上递增,在(-1,1)上递减, 由于ym=-, 所以ym∈(-,-]. 因为-<-1<-, 所以f(ym)∈(f(-),f(-1)], 即f(ym)∈(,]. 所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)<-(-)=. |