设a≥0，f （x）=x-1-ln2x+2a ln x（x＞0）．（Ⅰ）令F（x）=xf"（x），讨论F（x）在（0．+∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x
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设a≥0，f （x）=x-1-ln2x+2a ln x（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf"（x），讨论F（x）在（0．+∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x-2a ln x+1． |
答案
（Ⅰ）根据求导法则有f′(x)=1-+，x＞0，
故F（x）=xf"（x）=x-2lnx+2a，x＞0，
于是F′(x)=1-=，x＞0，
∴知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，
所以，在x=2处取得极小值F（2）=2-2ln2+2a．
（Ⅱ）证明：由a≥0知，F（x）的极小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．
于是知，对一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf"（x）＞0．
从而当x＞0时，恒有f"（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）内单调增加．
所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln2x+2alnx＞0．
故当x＞1时，恒有x＞ln2x-2alnx+1． |
举一反三
| 已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m=______． |
已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之． |
| 已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设a=f()，b=f()，c=f()，则a，b，c从小到大的顺序为______． |
已知函数f（x）=lnx，g(x)=（a＞0）
（Ⅰ）若设F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数H(x)=f(x)+图象上任意点处的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数p(x)=x3+x2+m-的图象与q(x)=f(x2)的图象恰好有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由． |
设函数f（x）=是奇函数（a，b，c都是整数）且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0，f（x）的单调性如何？用单调性定义证明你的结论；
（3）当x＞0时，求函数f（x）的最小值． |
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