已知函数f(x)=a×2x-11+2x(a∈R).(I)若f(x)为奇函数,求a的值;(III)当a=5时,函数f(x)的图象是否存在对称中心,若存在,求其对称
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已知函数f(x)=a×2x-11+2x(a∈R).(I)若f(x)为奇函数,求a的值;(III)当a=5时,函数f(x)的图象是否存在对称中心,若存在,求其对称
题型:解答题
难度:一般
来源:安徽模拟
已知函数
f(x)=
a×
2
x
-1
1+
2
x
(a∈R)
.
(I)若f(x)为奇函数,求a的值;
(III)当a=5时,函数f(x)的图象是否存在对称中心,若存在,求其对称中心;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)函数
f(x)=
a×
2
x
-1
1+
2
x
(a∈R)
,有1+2
x
>1恒成立,
则f(x)的定义域为R,
又由函数f(x)为奇函数,可得f(0)=0,
则f(0)=
a×
2
0
-1
1+
2
0
=0,解可得a=1,
此时f(x)=
2
x
-1
1+
2
x
;
(Ⅱ)当a=5时,f(x)=
5×
2
x
-1
1+
2
x
=5-
6
1+
2
x
,
假设f(x)的图象存在对称中心,且其对称中心的坐标为(h,k),
则对于任意的x∈R,有f(h+x)+f(h-x)=2k恒成立,
10-6(
1
1+
2
h+x
+
1
1+
2
h-x
)=2k恒成立,
整理可得(4-2k)×2
h+x
+(4-2k)×2
h-x
+[(10-2k)×2
2h
-2-2k]=0恒成立,
于是有
4-2k=0
(10-2k)×
2
2h
-2-2k=0
,解可得h=0,k=2,
故当a=5时,函数f(x)的图象存在对称中心,且其对称中心为(0,2).
举一反三
已知函数f(x)=e
x
-ln(x+1)
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)证明:
e+
e
1
2
+
e
1
3
+…+
e
1
n
≥ln(n+1)(n∈
N
*
,e为常数)
.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f (x)=2sin(x+
θ
2
)cos(x+
θ
2
)+2
3
cos
2
(x+
θ
2
)-
3
.
(1)化简f (x)的解析式;
(2)若0≤θ≤π,求θ使函数f (x)为偶函数;
(3)在(2)成立的条件下,求满足f (x)=1,x∈[-π,π]的x的集合.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
a×
2
x
-1
1+
2
x
(a∈R)
.
(I)若a=2,且
f(x)=-
3
2
-2
2
,求x的值;
(II)若f(x)为奇函数,求a的值;
(III)当a=5时,函数f(x)的图象是否存在对称中心,若存在,求其对称中心;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
(理)函数
f(x)=
m-2sinx
cosx
在区间
(0,
π
2
)
上单调递减,则实数m的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知数列{a
n
},定义其倒均数是
V
n
=
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n
n
,n∈N*
.
(1)若数列{a
n
}倒均数是
V
n
=
n+2
2
,求
a
n
;
(2)若等比数列{b
n
}的公比q=2,其倒均数为V
n
,问是否存在正整数m,使得当n≥m(n∈N
*
)时,nV
n
<
15
8
b
1
恒成立,若存在,求出m的最小值;若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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