已知函数f（x）=x3+x．（1）指出f（x）在定义域R上的奇偶性与单调性（只要求写出结论，无须证明）；（2）已知实数a，b，c满足a+b＞0，b+c＞0，c+
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x3+x．
（1）指出f（x）在定义域R上的奇偶性与单调性（只要求写出结论，无须证明）；
（2）已知实数a，b，c满足a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，试判断f（a）+f（b）+f（c）与0的大小，并加以证明． |
答案
（1）∵函数f（x）=x3+x的定义域为R，关于原点对称
又∵f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数，
又∵y=x3在R上单调递增，y=x在R上单调递增
∴f（x）=x3+x在定义域R上也为增函数．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，故f（a）＞f（-b）=-f（b），于是f（a）+f（b）＞0．
同理，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
故f（a）+f（b）+f（b）+f（c）+f（c）+f（a）＞0，即有f（a）+f（b）+f（c）＞0． |
举一反三
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1-x）=f（-x-3），当0≤x≤2时，f(x)=，那使f(x)=成立的x的集合为（ ）| A．{x|x=2n，n∈Z} | B．{x|x=2n-1，n∈Z} | | C．{x|x=4n-1，n∈Z} | D．{x|x=4n+1，n∈Z} |
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设f（x）=+是定义在R上的函数．
（1）f（x）可能是奇函数吗？
（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性． |
| 定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，则不等式f（1）＜f（a）的解集是______． |
| 已知函数f（x）=x2，x∈[-2，2]和函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若对∀x1∈[-2，2]，总存在x0∈[-2，2]，使f（x1）=g（x0）成立，则实数a的取值范围是______． |
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