已知函数f(x)=px2+2q-3x是奇函数，且f(2)=-53，求f（x）的解析式．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

px2+2

q-3x

是奇函数，且f(2)=-

，求f（x）的解析式．

答案

f(x)=

2x2+2

-3x

．
∵f（x）是奇函数，
∴对定义域内的任意的x，都有f（-x）=-f（x），（4分）
即

px2+2

q+3x

px2+2

q-3x

，整理得：q+3x=-q+3x，
∴q=0（8分）
又∵f(2)=-

，
∴f(2)=

4p+2

-6

，解得p=2
∴所求解析式为f(x)=

2x2+2

-3x

．（12分）

举一反三

已知函数f（n）对任意实数n都满足条件：f(n+1)=

f(n)

，若f（1）=8，则f（2009）=______．

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y=f（x）在（0，2）上是增函数，y=f（x+2）是偶函数，则f(1)，f(

)，f(

)的大小关系是______．

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已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-

x3+

ax2-3bx+c(a，b，c∈R)．
（1）若函数h（x）=f′（x）-g′（x）是其定义域上的增函数，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）是奇函数，且g（x）的极大值是g(

)，求函数g（x）在区间[-1，m]上的最大值；
（3）证明：当x＞0时，f′(x)＞

+1．

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已知函数f（x）=lnx，g(x)=

x2，
（I）设函数F（x）=ag（x）-f（x）（a＞0），若F（x）没有零点，求a的取值范围；
（II）若x₁＞x₂＞0，总有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

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已知函数f(x)=4x+

x+1

，a＞-1，a为常数，
（1）若a=1，证明f（x）≥0；
（2）对任意x∈（1+∞）f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．

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