已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞)．（1）当a=12时，判断并证明函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；（2）如果对任意x∈[1，+∞），有f

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞)．
（1）当a=

1

2

时，判断并证明函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）如果对任意x∈[1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）当a=

1

2

时，f(x)=x+

1

2x

+2，f/(x)=1-

1

2x2

当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0，从而函数f（x）在[1，+∞）上的单调增；
（2）f(x)=

x2+2x+a

x

＞0，x∈[1，+∞)，则x²+2x+a＞0，即（x+1）²+a-1＞0（y=（x+1）²+a-1是增函数，所以取1时，有最小值）所以4＞1-a，解得a＞-3．