已知函数f(x)=1a-1x(a≠0,x≠0).(1)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

已知函数f(x)=1a-1x(a≠0,x≠0).(1)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
1
a
-
1
x
(a≠0,x≠0).
(1)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
答案
解  (1)∵F(x)=f(x)-a=
1
a
-
1
x
-a
…(3分)
F(-x)=
1
a
+
1
x
-a

又因为F(-x)为奇函数,
所以 F(-x)+F(x)=
2
a
-2a=0
…(5分)
解得 a=1或a=-1…(7分)
(2)证明  任取x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(
1
a
-
1
x1
)-(
1
a
-
1
x2
)=(
1
x2
-
1
x1
)=
x1-x2
x1x2
   …(10分)
∵x1>x2>0,∴x1x2>0,x1-x2>0,…(12分)
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2
故f(x)在(0,+∞)上是增函数              …(15分)
举一反三
已知函数f(x)=ax2+ax-e(a∈R).
(1)若函数f(x)恰有一个零点,求a的值;
(2)若对任意a∈[1,2],f(x)≤0恒成立,求x的取值范围;
(0)设函数g(x)=(a+1)x2+2ax+2a-5,是否存在实数a,使右当x∈(-2,-1)时,函数g(x)的大象始终在f(x)大象的上方,若存在,试求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设a∈R,函数f(x)=ex+e-ax的导数是f′(x),若xf′(x)是偶函数,则a=(  )
A.0B.-1C.1D.±1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知向量


a
=(m,n)


b
=(cosθ,sinθ)
,其中m,n,θ∈R.若|


a
|=4|


b
|
,则当


a


b
λ2
恒成立时实数λ的取值范围是(  )
A.λ>


2
λ<-


2
B.λ>2或λ<-2C.-


2
<λ<


2
D.-2<λ<2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求函数f(x)在[1,3]上的最小值;
(Ⅱ)若存在x∈[
1
e
,e]
(e为自然对数的底数,且e=2.71828…)使不等式2f(x)≥-x2+ax-3成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
在R上定义运算:x⊗y=x(1-y),若∃x∈R使得(x-a)⊗(x+a)>1成立,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,-
1
2
)∪(
3
2
,+∞)
B.(-
1
2
3
2
C.(-
3
2
1
2
D.(-∞,-
3
2
)∪(
1
2
,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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