(Ⅰ) 由f(1)=f(4)得1+a+b=,解得b=4. …(1分) 由f(x)=(x≠0)为奇函数,得f(x)+f(-x)=0对x≠0恒成立, 即+=2a=0,所以a=0. …(3分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x+. 任取x1,x2∈(0,2],且x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2),…(5分) ∵0<x1<x2≤2,∴x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-4<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), 所以,函数f(x)在区间(0,2]单调递减. …(7分) 类似地,可证f(x)在区间(2,+∞)单调递增. …(8分) (Ⅲ)对于条件①,由(Ⅱ)得函数f(x)在(0,+∞)上有最小值f(2)=4, 故若f(x)+<0对x∈(0,+∞)恒成立, 则需f(x)min>-,则4>-, ∴k>-8; 对于条件②,由(Ⅱ)可知函数f(x)在(-∞,-2)上递增,在[-2,0)上递减, ∴函数f(x)在[-6,-2]上递增,在[-2,0)上递减, 又f(-6)=-,f(-2)=-4,f(-1)=-5, 所以函数f(x)在[-6,-1]上的值域为[-,-4], 若方程f(x)=k在[-6,-1]上有解,则需-≤k≤-4, 若同时满足条件①②,则需. 所以:-≤k≤-4. 故当-≤k≤-4时,条件①②同时满足. |