已知函数f(x)=x2+ax( x≠0,常数a∈R).(1)当a=2时,解不等式f(x)-f(x-1)>2x-1;(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
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已知函数f(x)=x2+ax( x≠0,常数a∈R).(1)当a=2时,解不等式f(x)-f(x-1)>2x-1;(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
题型:解答题
难度:一般
来源:上海
已知函数
f(x)=
x
2
+
a
x
( x≠0
,常数a∈R).
(1)当a=2时,解不等式f(x)-f(x-1)>2x-1;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
答案
(1)
x
2
+
2
x
-(x-1
)
2
-
2
x-1
>2x-1
,
2
x
-
2
x-1
>0
,x(x-1)<0.
∴原不等式的解为0<x<1.
(2)当a=0时,f(x)=x
2
,
对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)
2
=x
2
=f(x),
∴f(x)为偶函数.
当a≠0时,
f(x)=
x
2
+
a
x
( a≠0, x≠0 )
,
取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),
∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
举一反三
已知实数a≠0,函数f(x)=ax(x-2)
2
(x∈R).
(1)若函数f(x)有极大值32,求实数a的值;
(2)若对∀x∈[-2,1],不等式
f(x)<
16
9
恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知a>0且a≠1,f(x)是奇函数,φ(x)=(a-1)f(x)(
1
a
x
-1
+
1
2
)
(1)判断ϕ(x)的奇偶性,并给出证明;
(2)证明:若xf(x)>0,则ϕ(x)>0.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=asinx-
1
2
cos2x+a-
3
a
+
1
2
,a∈R且a≠0.
(1)若对∀x∈R,都有f(x)≤0,求a的取值范围;
(2)若a≥2,且∃x∈R,使得f(x)≤0,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知偶函数f(x)对∀x∈R满足f(2+x)=f(2-x)且当-2≤x≤0时,f(x)=log
2
(1-x),则f(2011)的值为( )
A.2011
B.2
C.1
D.0
题型:单选题
难度:简单
|
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已知曲线C:f(x)=x
2
,C上的点A
0
,A
n
的横坐标分别为1和a
n
(n∈N
*
),且a
1
=5,数列{x
n
}满足
x
n+1
=t•f(
x
n
-1)+1(t>0且t≠
1
2
,t≠1)
,设区间D
n
=[1,a
n
](a
n
>1),当x∈D
n
时,曲线C上存在点P
n
(x
n
,f(x
n
)),使得点P
n
处的切线与直线A
0
A
n
平行.
(1)证明:{log
t
(x
n
-1)+1}是等比数列;
(2)当D
n+1
⊊D
n
对一切n∈N
*
恒成立时,求t的取值范围;
(3)记数列{a
n
}的前n项和为S
n
,当
t=
1
4
时,试比较S
n
与n+7的大小,并证明你的结论.
题型:解答题
难度:一般
|
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