已知a>0且a≠1,f(x)是奇函数,φ(x)=(a-1)f(x)(1ax-1+12)(1)判断ϕ(x)的奇偶性,并给出证明;(2)证明:若xf(x)>0,则ϕ
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已知a>0且a≠1,f(x)是奇函数,φ(x)=(a-1)f(x)(1ax-1+12)(1)判断ϕ(x)的奇偶性,并给出证明;(2)证明:若xf(x)>0,则ϕ
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知a>0且a≠1,f(x)是奇函数,φ(x)=(a-1)f(x)(
1
a
x
-1
+
1
2
)
(1)判断ϕ(x)的奇偶性,并给出证明;
(2)证明:若xf(x)>0,则ϕ(x)>0.
答案
(1)∵f(x)为奇函数∴f(-x)=-f(x)
又ϕ(x)的定义域为{x∈R|x≠0}2分)
∴
ϕ(-x)=(a-1)f(-x)(
1
a
-x
-1
+
1
2
)
=
(a-1)f(-x)(
a
x
1-
a
x
+
1
2
)
=
(a-1)f(-x)(
1
1-
a
x
-
1
2
)=(a-1)f(x)(
1
a
x
-1
+
1
2
)=ϕ(x)
∴ϕ(x)是偶函数.(6分)
(2)若x>0,则由已知,f(x)>0,(7分)
①当
a>1时
1
a
x
-1
+
1
2
>0
,a-1>0∴ϕ(x)>0
②当0<a<1时
1
a
x
-1
+
1
2
<0
,a-1<0,∴ϕ(x)>0,(10分)
又ϕ(x)是偶函数,
∴x<0,ϕ(x)=ϕ(-x)>0.(11分)
故当xf(x)>0时,ϕ(x)>0.(12分)
举一反三
已知函数
f(x)=asinx-
1
2
cos2x+a-
3
a
+
1
2
,a∈R且a≠0.
(1)若对∀x∈R,都有f(x)≤0,求a的取值范围;
(2)若a≥2,且∃x∈R,使得f(x)≤0,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知偶函数f(x)对∀x∈R满足f(2+x)=f(2-x)且当-2≤x≤0时,f(x)=log
2
(1-x),则f(2011)的值为( )
A.2011
B.2
C.1
D.0
题型:单选题
难度:简单
|
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已知曲线C:f(x)=x
2
,C上的点A
0
,A
n
的横坐标分别为1和a
n
(n∈N
*
),且a
1
=5,数列{x
n
}满足
x
n+1
=t•f(
x
n
-1)+1(t>0且t≠
1
2
,t≠1)
,设区间D
n
=[1,a
n
](a
n
>1),当x∈D
n
时,曲线C上存在点P
n
(x
n
,f(x
n
)),使得点P
n
处的切线与直线A
0
A
n
平行.
(1)证明:{log
t
(x
n
-1)+1}是等比数列;
(2)当D
n+1
⊊D
n
对一切n∈N
*
恒成立时,求t的取值范围;
(3)记数列{a
n
}的前n项和为S
n
,当
t=
1
4
时,试比较S
n
与n+7的大小,并证明你的结论.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有( )
A.f(x)•f(-x)>0
B.f(x)•f(-x)<0
C.f(x)<f(-x)
D.f(x)>f(-x)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=lnx-
a
x
,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅲ)设函数h(x)=x
2
-mx+4,当a=2时,若∃x
1
∈(0,1),∀x
2
∈[1,2],总有g(x
1
)≥h(x
2
)成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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