已知函数f(x)=13x3-a+12x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;

已知函数f(x)=13x3-a+12x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;
(Ⅱ)若存在x<0,使得f′(x)=-9,求a的最大值;
(Ⅲ)当a>0时,求函数f(x)的零点个数.
答案
f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a
,f"(x)=x2-(a+1)x+b
由f"(0)=0得b=0,f"(x)=x(x-a-1).
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
1
3
x3-x2+1
,f"(x)=x(x-2),f(3)=1,f"(3)=3
所以函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3),即3x-y-8=0;
(Ⅱ)存在x<0,使得f"(x)=x(x-a-1)=-9,-a-1=-x-
9
x
=(-x)+(-
9
x
)≥2


(-x)•(-
9
x
)=6
,a≤-7,
当且仅当x=-3时,a=-7,所以a的最大值为-7;
(Ⅲ)当a>0时,x,f"(x),f(x)的变化情况如下表:

f(x)的极大值f(0)=a>0,
f(x)的极小值f(a+1)=a-
1
6
(a+1)3=-
1
6
[a3+3(a-
1
2
)
2
+
1
4
]<0

f(-2)=-a-
14
3
<0
f(x)=
1
3
x2[x-
3
2
(a+1)]+a
f(
3
2
(a+1))=a>0

所以函数f(x)在区间(-2,0),(0,a+1),(a+1,
3
2
(a+1))
内各有一个零点,
故函数f(x)共有三个零点.
举一反三
已知函数f(x)=
3x

+1,则
lim
△x→0
f(1-△x)-f(1)
△x
的值为(  )
A.-
1
3
B.
1
3
C.
2
3
D.0
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已知函数f(x)满足f(2x-1)=
1
2
f(x)+x2-x+2
,则函数f(x)在(1,f(1))处的切线是(  )
A.2x+3y+12=0B.2x-3y+10=0C.2x-y+2=0D.2x-y-2=0
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已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,如图是其运动轨迹的一部分,若t∈[
1
2
,4]时,s(t)<3d2恒成立,求d的取值范围.
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曲线y=sinx在x=
π
2
处的切线方程是(  )
A.y=0B.y=x+1C.y=xD.y=1
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若函数y1=sin(2x1)+
1
2
(x1∈[0,π]),函数y2=x2+3,则(x1-x22+(y1-y22的最小值为(  )
A.


2
12
π+
5


2
-


6
4
B.


2
12
π
C.(
5


2
-


6
4
2
D.
(π-3


3
+15)
2
72
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