已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,如图是其运动轨迹的一部分,若t∈[12,4]时,s(t)<3d2恒成立,求d的取值范围.
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已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,如图是其运动轨迹的一部分,若t∈[12,4]时,s(t)<3d2恒成立,求d的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知某质点的运动方程为s(t)=t
3
+bt
2
+ct+d,如图是其运动轨迹的一部分,若t∈[
1
2
,4]时,s(t)<3d
2
恒成立,求d的取值范围.
答案
s"(t)=3t
2
+2bt+c.
由图象可知,s(t)在t=1和t=3处取得极值.
则s"(1)=0,s"(3)=0.
即
3+2b+c=0
27+6b+c=0
解得
b=-6
c=9
s"(t)=3t
2
-12t+9=3(t-1)(t-3).
当t∈[
1
2
,1)时,s"(t)>0.
当t∈(1,3)时,s"(t)<0.
当t∈(3,4)时,s"(t)>0.
则当t=1时,s(t)取得极大值为4+d.
又s(4)=4+d,
故t∈[
1
2
,4]时,s(t)的最大值为4+d.
已知s(t)<3d
2
在
1
2
,4]上恒成立,
∴s(t)
max
<3d
2
.即4+d<3d
2
.
解得d>
4
3
或d<-1.
∴d的取值范围是{d|d>
4
3
或d<-1}.
举一反三
曲线y=sinx在x=
π
2
处的切线方程是( )
A.y=0
B.y=x+1
C.y=x
D.y=1
题型:不详
难度:
|
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若函数y
1
=sin(2x
1
)+
1
2
(x
1
∈[0,π]),函数y
2
=x
2
+3,则(x
1
-x
2
)
2
+(y
1
-y
2
)
2
的最小值为( )
A.
2
12
π+
5
2
-
6
4
B.
2
12
π
C.(
5
2
-
6
4
)
2
D.
(π-3
3
+15)
2
72
题型:不详
难度:
|
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已知三次函数f(x)=
1
3
ax
3
+
1
2
bx
2
-6x+1(x∈R),a,b为实常数.
(1)若a=3,b=3时,求函数f(x)的极大、极小值;
(2)设函数g(x)=f′(x)+7,其中f′(x)是f(x)的导函数,若g(x)的导函数为g′(x),g′(0)>0,g(x)与x轴有且仅有一个公共点,求
g(1)
g′(0)
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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曲线y=ax
3
+bx-1在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,则a+b=( )
A.-3
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知函数g(x)=(a-2)x(x>-1),函数f(x)=ln(1+x)+bx的图象如图所示.
(I)求b的值;
(II)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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