已知函数g(x)=(a-2)x(x>-1),函数f(x)=ln(1+x)+bx的图象如图所示.(I)求b的值;(II)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区

已知函数g(x)=(a-2)x(x>-1),函数f(x)=ln(1+x)+bx的图象如图所示.(I)求b的值;(II)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区

题型:不详难度:来源:
已知函数g(x)=(a-2)x(x>-1),函数f(x)=ln(1+x)+bx的图象如图所示.
(I)求b的值;
(II)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.
答案
(I)f′(x)=
1
1+x
+b

由图知f"(-0.5)=0⇒b=-2;
(II)F(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-2x-(a-2)x=ln(1+x)-ax,得到F′(x)=
1
1+x
-a

令F"(x)=
1
1+x
-a>0⇒因为x+1>0⇒ax<1-a
当a>0时,F"(x)>0⇒-1<x<
1
a
-1
,故函数F(x)的单调增区间是(-1,
1
a
-1),单调减区间(
1
a
-1,+∞)

当a<0时,F"(x)>0⇒x>-1,故函数F(x)的单调增区间是(-1,+∞);
当a=0时,F"(x)>0⇒x>-1,故函数F(x)的单调增区间是(-1,+∞),
综上所述:
当a>0时,函数F(x)的单调增区间是(-1,
1
a
-1)
,单调减区间是(
1
a
-1,+∞)

当a≤0时,函数F(x)的单调增区间是(-1,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d的图象如图所示.
(1)求c,d的值;
(2)若函数f(x)在x=2处的切线方程为3x+y-11=0,求函数f(x)的
解析式.
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已知函数f(x)=2x3-3x2+3.
(1)求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程;
(2)若关于x的方程f(x)+m=0有三个不同的实根,求实数m的取值范围.
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曲线y=x3-x在点(1,0)处的切线与直线x+ay=1垂直,则实数a的值为(  )
A.2B.-2C.
1
2
D.-
1
2
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若点P是曲线y=x2-lnx上一点,且在点P处的切线与直线y=x-2平行,则点P的横坐标为______.
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已知函数f(x)=
1
3
x3-x2-3x在x1、x2处分别取得极大值和极小值,记点M(x1,f(x1))N(x2,f(x2)).
(1)求x1,x2的值;
(2)证明:线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点.
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