解法一:∵函数f(x)=x3-x2-3x在x1,x2(x1<x2)处取得极值,记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)), f"(x)=x2-2x-3, 的两个根为x1,x2, 由f"(x)=x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3(3分) 令f"(x)>0,x>3或x<-1,f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),f"(x)<0,-1<x<3,单调减区间为(-1,3)(5分) 所以函数f(x)在x1=-1.x2=3处取得极值. (2)由(1)可知,M(-1,).N(3,-9)(7分) 所以直线MN的方程为y=-x-1(8分) 由得x3-3x2-x+3=0,(9分) 令F(x)=x3-3x2-x+3,易得F(0)=3>0,F(2)=-3<0,(11分) 而F(x)的图象在(0,2)内是一条连续不断的曲线,故F(x)在(0,2)内存在零点x0,这表明线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点.(12分) 解法二:同解法一,可得直线MN的方程为y=-x-1(8分) 由得x3-3x2-x+3=0(9分) 解得x1=-1,x2=1.x3=3, ∴(11分) 所以线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点(1,-).(12分) |