已知函数f(x)=aln(ex+1)-(a+1)x,g(x)=x2-(a-1)x-f(lnx),a∈R,且g(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值;(2)若对
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已知函数f(x)=aln(ex+1)-(a+1)x,g(x)=x2-(a-1)x-f(lnx),a∈R,且g(x)在x=1处取得极值. (1)求a的值; (2)若对0≤x≤3,不等式g(x)≤m-8ln2成立,求m的取值范围; (3)已知△ABC的三个顶点A,B,C都在函数f(x)的图象上,且横坐标依次成等差数列,讨论△ABC是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论. |
答案
(1)g(x)=x2-(a-1)x-aln(1+x)+(a+1)lnx(x>0), g′(x)=2x-(a-1)-+(x>0), 由于g(x)在x=1处取得极值,有g′(1)=0,所以a=8. (2)g(x)=x2-7x-8ln(1+x)+9lnx(x>0) g′(x)=2x-7-+=(x>0), 由g′(x)=0,得x=1或x=3 函数g(x)增区间(0,1),减区间(1,3), 所以函数g(x)在x=1处取得极大值且g(x)max=g(1)=-6-8ln2 不等式m-8ln2≥g(x),对0≤x≤3成立,等价于m-8ln2≥g(x)max成立 ∴m≥-6 (3)设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).C(x3,f(x3)),且x1<x2<x3,x2=, f′(x)=-9=<0恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. ∴f(x1)>f(x2)>f(x3), ∴=(x1-x2,f(x1)-f(x2)),=(x3-x2,f(x3)-f(x2)), ∴•=(x3-x2)(x1-x2)+f(x1)-f(x2)•f(x3)-f(x2)<0. 所以B为钝角,△ABC是钝角三角形. 若△ABC是等腰三角形,则只能是||=||. 即(x1-x2)2+[f(x1)-f(x2)]2=(x3-x2)2+[f(x3)-f(x2)]2 ∵x2=∴[f(x1)-f(x2)]2=[f(x3)-f(x2)]2. f(x1)-f(x2)≠f(x3)-f(x2)f(x1)-f(x2)=f(x2)-f(x3) ∴f()=, 由f(x)=8ln(1+ex)-9x,f(x1)+f(x2)-2f() =8[ln(1+ex1)(1+ex1)-ln(1+e)2] =8[ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e+ex1+x2)] ∵x1≠x2∴ex1+ex2>2=2e ∴1+ex1+ex2+ex1+x2>1+2e+ex1+x2 ∴f(x1)+f(x2)-2f()>0 ∴f()<, 故△ABC是钝角三角形,但不可能是等腰三角形. |
举一反三
已知函数f(x)在区间(a,b)内可导,其导函数y=f"(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内有( )A.一个极大值,一个极小值 | B.一个极大值,两个极小值 | C.两个极大值,一个极小值 | D.两个极大值,两个极小值 |
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已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,a=______. |
设曲线f(x)=x3-x2+1(其中a>0)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2).证明:当x1≠x2时,f′(x1)≠f′(x2) |
已知函数f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0. (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性. |
已知A是曲线C1:y=(a>0)与曲线C2:x2+y2=5的一个公共点.若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是______. |
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