已知函数f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调

已知函数f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中a≥0.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
答案
解(1)当a=0时,f(x)=-2x+4lnx,
从而f′(x)=-2+
4
x
,其中x>0.
所以f′(1)=2.
又切点为(1,-2),
所以所求切线方程为y+2=2(x-1),即2x-y-4=0.
(2)因为f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,
所以f′(x)=2ax-(4a+2)+
4
x
=
2ax2-(4a+2)x+4
x
=
2(ax-1)(x-2)
x
,其中x>0.
①当a=0时,f′(x)=-
2(x-2)
x
,x>0.
由f′(x)>0得,0<x<2,所以函数f(x)的单调增区间是(0,2);单调减区间是(2,+∞);
②当0<a<
1
2
时,因为
1
a
>2,由f′(x)>0,得x<2或x>
1
a

所以函数f(x)的单调增区间是(0,2)和(
1
a
,+∞);单调减区间为(2,
1
a
);
③当a=
1
2
时,f′(x)=
(x-2)2
x
≥0,且仅在x=2时,f′(x)=0,
所以函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);
④当a>
1
2
时,因0<
1
a
<2,由f′(x)>0,得0<x<
1
a
或x>2,
所以函数f(x)的单调增区间是(0,
1
a
)和(2,+∞);单调减区间为(
1
a
,2).
综上,
当a=0时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞);
当0<a<
1
2
时,f(x)的单调增区间是(0,2)和(
1
a
,+∞),减区间为(2,
1
a
);
当a=
1
2
时,f(x)的单调增区间是(0,+∞);
当a>
1
2
时,f(x)的单调增区间是(0,
1
a
)和(2,+∞),减区间为(
1
a
,2).
举一反三
已知A是曲线C1:y=
a
x-2
(a>0)与曲线C2:x2+y2=5的一个公共点.若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是______.
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曲线y=x-
1
x
在点(1,0)处的切线方程为(  )
A.y=2x-2B.y=x-1C.y=0D.y=-x+1
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已知函数f(x)=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6,在x=1时有极小值,
(1)求a,b,c的值;
(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
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已知函数f(x)=x3-2ax2+bx+c.
(Ⅰ)当c=0时,f(x)的图象在点(1,3)处的切线平行于直线y=x+2,求a,b的值;
(Ⅱ)当a=
3
2
,b=-9
时,f(x)在点A,B处有极值,O为坐标原点,若A,B,O三点共线,求c的值.
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实数a∈[-1,1],b∈[0,2].设函数f(x)=-
1
3
x3+
1
2
ax2+bx
的两个极值点为x1,x2,现向点(a,b)所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使x1≤-1且x2≥1的区域的概率为(  )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
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