已知A是曲线C1:y=ax-2(a>0)与曲线C2:x2+y2=5的一个公共点.若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是______.

已知A是曲线C1:y=ax-2(a>0)与曲线C2:x2+y2=5的一个公共点.若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是______.

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已知A是曲线C1:y=
a
x-2
(a>0)与曲线C2:x2+y2=5的一个公共点.若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是______.
答案
设点A的坐标为(x0,y0),代入两曲线方程得:
y0=
a
x0-2
①,x02+y02=5②,
由曲线C1:y=
a
x-2
得:y′=-
a
(x-2)2

则曲线C1在A处的切线的斜率k=-
a
(x0-2)2

所以C1在A处的切线方程为:y=-
a
(x0-2)2
(x-x0)+y0
由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,
得到切线方程y=-
a
(x0-2)2
(x-x0)+y0过圆C2的圆心(0,0),
则有-
a
(x0-2)2
(0-x0)+y0=0,即y0=-
ax0
(x0-2)2
③,
把③代入①得:
a
x0-2
=-
a
(x0-2)2
x0从而x0=1再代入①得:y0=-a;代入②,
得:1+a2=5(a>0).
则a=2(-2舍去).
故实数a的值为2.
举一反三
曲线y=x-
1
x
在点(1,0)处的切线方程为(  )
A.y=2x-2B.y=x-1C.y=0D.y=-x+1
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已知函数f(x)=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6,在x=1时有极小值,
(1)求a,b,c的值;
(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
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已知函数f(x)=x3-2ax2+bx+c.
(Ⅰ)当c=0时,f(x)的图象在点(1,3)处的切线平行于直线y=x+2,求a,b的值;
(Ⅱ)当a=
3
2
,b=-9
时,f(x)在点A,B处有极值,O为坐标原点,若A,B,O三点共线,求c的值.
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实数a∈[-1,1],b∈[0,2].设函数f(x)=-
1
3
x3+
1
2
ax2+bx
的两个极值点为x1,x2,现向点(a,b)所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使x1≤-1且x2≥1的区域的概率为(  )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
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已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在x=2处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
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