已知函数f(x)=asinx-12cos2x+a-3a+12,a∈R且a≠0.(1)若对∀x∈R,都有f(x)≤0,求a的取值范围;(2)若a≥2,且∃x∈R,
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已知函数f(x)=asinx-12cos2x+a-3a+12,a∈R且a≠0.(1)若对∀x∈R,都有f(x)≤0,求a的取值范围;(2)若a≥2,且∃x∈R,
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=asinx-
1
2
cos2x+a-
3
a
+
1
2
,a∈R且a≠0.
(1)若对∀x∈R,都有f(x)≤0,求a的取值范围;
(2)若a≥2,且∃x∈R,使得f(x)≤0,求a的取值范围.
答案
(1)
f(x)=si
n
2
x+asinx+a-
3
a
.
令t=sinx(-1≤t≤1),则
g(t)=
t
2
+at+a-
3
a
,
对任意x∈R,f(x)≤0恒成立的充要条件是
g(-1)=1-
3
a
≤0
g(1)=1+2a-
3
a
≤0.
解得a的取值范围为(0,1];
(2)因为a≥2,所以
-
a
2
≤-1
,g(t)在[-1,1]上递增,
所以
g(t
)
min
=g(-1)=1-
3
a
,
因此
f(x
)
min
=1-
3
a
.
于是,存在x∈R,使得f(x)≤0的充要条件是
1-
3
a
≤0
,解得0<a≤3,
故a的取值范围是[2,3].
举一反三
已知偶函数f(x)对∀x∈R满足f(2+x)=f(2-x)且当-2≤x≤0时,f(x)=log
2
(1-x),则f(2011)的值为( )
A.2011
B.2
C.1
D.0
题型:单选题
难度:简单
|
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已知曲线C:f(x)=x
2
,C上的点A
0
,A
n
的横坐标分别为1和a
n
(n∈N
*
),且a
1
=5,数列{x
n
}满足
x
n+1
=t•f(
x
n
-1)+1(t>0且t≠
1
2
,t≠1)
,设区间D
n
=[1,a
n
](a
n
>1),当x∈D
n
时,曲线C上存在点P
n
(x
n
,f(x
n
)),使得点P
n
处的切线与直线A
0
A
n
平行.
(1)证明:{log
t
(x
n
-1)+1}是等比数列;
(2)当D
n+1
⊊D
n
对一切n∈N
*
恒成立时,求t的取值范围;
(3)记数列{a
n
}的前n项和为S
n
,当
t=
1
4
时,试比较S
n
与n+7的大小,并证明你的结论.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有( )
A.f(x)•f(-x)>0
B.f(x)•f(-x)<0
C.f(x)<f(-x)
D.f(x)>f(-x)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=lnx-
a
x
,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅲ)设函数h(x)=x
2
-mx+4,当a=2时,若∃x
1
∈(0,1),∀x
2
∈[1,2],总有g(x
1
)≥h(x
2
)成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义域为R的函数
f(x)=
b-
2
x
1+
2
x
是奇函数
(1)求b的值;
(2)试讨论函数f(x)的单调性;
(3)若对∀t∈R,不等式f(t-t
2
)+f(t-k)>0恒成立,求k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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