已知函数f(x)=ax-1ax+1(a＞1)．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

ax-1

ax+1

(a＞1)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

答案

（1）函数的定义域为R
∵f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；
（2）证明：f(x)=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=1-

2

ax1+1

-1+

2

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax2+1)(ax2+1)

∵x₁＜x₂，a＞1，∴ax1＜ax2
∴ax1-ax2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．