已知函数f(x)=ex+1ex-1．（Ⅰ）求f（x）的反函数f-1（x）；（Ⅱ）讨论f（x）的奇偶性．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

ex+1

ex-1

．
（Ⅰ）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（Ⅱ）讨论f（x）的奇偶性．

答案

（Ⅰ）由y=

ex+1

ex-1

，得ye^x-y=e^x+1，
从而ye^x-e^x=y+1，（y-1）e^x=y+1，∴ex=

y+1

y-1

．
由ex=

y+1

y-1

＞0，得y＜-1，或y＞1．
再由ex=

y+1

y-1

，得x=ln

y+1

y-1

(y＜-1，或y＞1)，
∴f-1(x)=ln

x+1

x-1

（x＜-1或x＞1）．
（Ⅱ）f(x)=

ex+1

ex-1

中，∵e^x-1≠0，∴x≠0．∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，它关于原点对称．
∵f(-x)=

e-x+1

e-x-1

=

(e-x+1)•ex

(e-x-1)•ex

=

1+ex

1-ex

=-

ex+1

ex-1

=-f(x)，
∴函数f（x）是奇函数．