已知向量a=(3sin3x ，- y) ， b=(m ， cos3x-m)（m∈R），且a+b=0．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在

题型：解答题难度：一般来源：浦东新区二模

已知向量

a

=(

3

sin3x ，- y) ， 

b

=(m ， cos3x-m)（m∈R），且

a

+

b

=

0

．设y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[

π

18

 ， 

2π

9

]上图象最低点M的坐标．
（2）若对任意x∈[0 ， 

π

9

]，f（x）＞t-9x+1恒成立，求实数t的范围．

答案

（1）∵

a

+

.

b

=

.

0

，即

3 sin3x+m=0 -y+cos3x-m=0

，
消去m，得y=

3

sin3x+cos3x，
即f(x)=

3

sin3x+cos3x=2sin(3x+

π

6

)，
x∈[

π

18

 ， 

2π

9

]时，3x+

π

6

∈[

π

3

 ， 

5π

6

]，sin(3x+

π

6

)∈[

1

2

 ，1]，
即f（x）的最小值为1，此时x=

2π

9

∴函数f（x）的图象上最低点M的坐标是(

2π

9

， 1)
（2）∵f（x）＞t-9x+1，即2sin(3x+

π

6

)+9x＞t+1，
当x∈[0 ， 

π

9

]时，函数f(x)=2sin(3x+

π

6

)单调递增，y=9x单调递增，
∴y=2sin(3x+

π

6

)+9x在[0 ， 

π

9

]上单调递增，
∴y=2sin(3x+

π

6

)+9x的最小值为1，
为要2sin(3x+

π

6

)+9x＞t+1恒成立，只要t+1＜1，
∴t＜0为所求．