设f(k)是满足不等式log2x+log2(3•2k-1-x)≥2K-1,(k∈N)的自然数x的个数,(1)求f(x)的解析式;(2)记Sn=f(1)+f(2)
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设f(k)是满足不等式log2x+log2(3•2k-1-x)≥2K-1,(k∈N)的自然数x的个数,(1)求f(x)的解析式;(2)记Sn=f(1)+f(2)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设f(k)是满足不等式log
2
x+log
2
(3•2
k-1
-x)≥2K-1,(k∈N)的自然数x的个数,
(1)求f(x)的解析式;
(2)记S
n
=f(1)+f(2)+…+f(n),求S
n
解析式;
(3)记P
n
=n-1,设T
n
=
log
2
(
S
n
-
P
n
)
log
2
(
S
n+1
-
P
n+1
)-10.5
,对任意n∈N均有T
n
<m成立,求出整数m的最小值.
答案
(1)原不等式可转化为:
x>0
3•
2
k-1
-x>0
x(3•
2
k-1
-x)≥
2
2k-1
即
x>0
x<3•
2
k-1
x
2
-3•
2
k-1
x+
2
k-1
•
2
k
≤0
∴2
k-1
≤x≤2
k
(4分)
∴f(k)=2
k
-(2
k-1
-1)=2
k-1
+1.(6′)
(2)∵S
n
=f(1)+f(2)+…+f(n)
=2
0
+2
1
+…+2
n-1
+n
=2
n
+n-1.(10′)
(3)∵
T
n
=
log
2
2
n
log
2
2
n+1
-10.5
=
n
n-9.5
=1+
9.5
n-9.5
,(12′)
当1≤n≤9时,T
n
单调递减,此时
(
T
n
)
max
=
T
1
=-
2
17
,(14′)
当n≥10时,T
n
单调递减,此时(T
n
)
max
=T
10
=20,
∴(T
n
)
max
=20,m
min
=21.(16′)
举一反三
对一切正整数n,不等式bn+2b<n+1恒成立,则b的范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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若f(x)的最小正周期为2,并且f(x+2)=f(2-x)对一切实数x恒成立,则f(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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函数y=f(x)的定义域D={x|x∈R,且x≠0},对定义域D内任意两个实数x
1
,x
2
,都有f(x
1
)+f(x
2
)=f(x
1
x
2
)成立.
(1)求f(-1)的值并证明y=f(x)为偶函数;
(2)若f(-4)=4,记
a
n
=(-1
)
n
•f(
2
n
)
&(n∈N,n≥1)
,求数列{a
n
}的前2009项的和S
2009
;
(3)(理) 若x>1时,f(x)<0,且不等式
f(
x
2
+
y
2
)≤f(
xy
)+f(a)
对任意正实数x,y恒成立,求非零实数a的取值范围.
(4)(文) 若x>1时,f(x)<0,解关于x的不等式 f(x-3)≥0.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x),又当x∈(0,1)时,f(x)=2
x
-1,则f(
log
1
2
6
)的值等于______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=x
2
-x+sinθ+cosθ,(1)若f(2)=1,求θ的值.(2)当x∈[0,1]时,不等式f(x)>0恒成立.试求θ的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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