(1)“f(x)=f1(x)对所有实数都成立”等价于“f1(x)≤f2(x)恒成立”,即3|x-1|≤a•3|x-2|,即|x-1|-|x-2|≤log3a恒成立,…(2分)(|x-1|-|x-2|)max=1,所以log3a≥1,a的取值范围是[3,+∞). …(4分) (2)由(1)可知,当a∈[3,+∞)时,f(x)=f1(x),f(0)=3,所以t=2,函数的对称轴为x=1,函数f(x)在[0,1]上单调递减;在[1,2]上单调递增,单调递增区间的长度和为d=1,=. …(6分) 当f2(x)≤f1(x)恒成立时,即|x-1|-|x-2|≥log3a恒成立,(|x-1|-|x-2|)min=-1,所以log3a≤-1. 当a∈(0,]时,f(x)=f2(x)=a•3|x-2|,函数的对称轴为x=2,由f(0)=f(t),可得t=4.函数f(x)在[0,2]上单调递减;在[2,4]上单调递增,单调递增区间的长度和为d=2,=. …(8分) 当a∈(,3)时,解不等式3|x-1|≤a•3|x-2|,即解|x-1|-|x-2|≤log3a,其中-1<log3a<1,解得x≤+log3a, 所以 f(x)= | 3|x-1 x≤+log3a | a•3|x-2 x>+log3a |
| | 且1<+log3a<2,f(0)=3,而f(t)=a•3t-2=3,t=3-log3a, 函数f(x)在[1,+log3a],[2,3-log3a]上单调递增,单调递增区间的长度和为d=(3-log3a-2)+(+log3a-1)=-log3a,=. …(11分) (3)当a=2时,f(x)= | 3|x-1 x≤+log32 | 2•3|x-2 x>+log32 |
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即要f(x)min≥g(x)min,…(14分)f(x)min=1.g(x)=(x-b)2+2,当x∈[1,2]时,g(x)min= | 4-2b,b<1 | 3-b2 1≤b≤2 | 7-4b,b>2 |
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所以b的取值范围是[,+∞). …(18分) |