对于定义在R上的函数f(x),可以证明点A(m,n)是f(x)图象的一个对称点的充要条件是f(m-x)+f(m+x)=2n,x∈R.(1)求函数f(x)=x3+
题型:解答题难度:一般来源:南汇区二模
对于定义在R上的函数f(x),可以证明点A(m,n)是f(x)图象的一个对称点的充要条件是f(m-x)+f(m+x)=2n,x∈R. (1)求函数f(x)=x3+3x2图象的一个对称点; (2)函数f(x)=ax3+(b-2)x2(a,b∈R)在R上是奇函数,求a,b满足的条件;并讨论在区间[-1,1]上是否存在常数a,使得f(x)≥-x2+4x-2恒成立? (3)试写出函数y=f(x)的图象关于直线X=M对称的充要条件(不用证明);利用所学知识,研究函数f(x)=ax3+bx2(a,b∈R)图象的对称性. |
答案
(1)设A(m,n)为函数f(x)=x3+3x2图象的一个对称点,则f(m-x)+f(m+x)=2n,对于x∈R恒成立.即(m-x)3+3(m-x)2+(m+x)3+3(m+x)2=2n对于x∈R恒成立, ∴(6m+6)x2+(2m3+6m2-2n)=0由解得: 故函数f(x)图象的一个对称点为(-1,2). (2)①因为函数是奇函数,则由f(-x)=-f(x)得:-ax3+(b-2)x2=-ax3-(b-2)x2,解得a∈R,b=2; ②当a∈R,b=2时f(x)是奇函数.不存在常数a使f(x)≥-x2+4x-2x∈[-1,1]时恒成立. 依题,此时f(x)=ax3令g(x)=-x2+4x-2x∈[-1,1]∴g(x)∈[-7,1]若a=0,f(x)=0,不合题; 若a>0,f(x)=ax3此时为单调增函数,f(x)min=-a. 若存在a合题,则-a≥1,与a>0矛盾. 若a<0,f(x)=ax3此时为单调减函数, f(x)min=a若存在a合题,则a≥1,与a<0矛盾. 综上可知,符合条件的a不存在. (3)函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f(m+x)=f(m-x) ①a=b=0时,f(x)=0(x∈R),其图象关于x轴上任意一点成中心对称;关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形; ②a=0,b≠0时,f(x)=bx2(x∈R),其图象关于y轴对称图形; ③a≠0,b=0时,f(x)=ax3,其图象关于原点中心对称; ④a≠0,b≠0时,f(x)=ax3+bx2的图象不可能是轴对称图形. 设A(m,n)为函数f(x)=ax3+bx2图象的一个对称点,则f(m-x)+f(m+x)=2n对于x∈R恒成立.即a(m-x)3+b(m-x)2+a(m+x)3+b(m+x)2=2n对于x∈R恒成立,(3am+b)x2+(am3+bm2-n)=0 由,由解得 故函数f(x)图象的一个对称点为(-,). |
举一反三
已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x3+1.设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-28)=______. |
已知f1(x)=3|x-1|,f2(x)=a•3|x-2|,(x∈R,a>0).函数f(x)定义为:对每个给定的实数x,f(x)= | f1(x) f1(x)≤f2(x) | f2(x) f1(x)>f2(x) |
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(1)若f(x)=f1(x)对所有实数x都成立,求a的取值范围; (2)设t∈R,t>0,且f(0)=f(t).设函数f(x)在区间[0,t]上的单调递增区间的长度之和为d(闭区间[m,n]的长度定义为n-m),求; (3)设g(x)=x2-2bx+3.当a=2时,若对任意m∈R,存在n∈[1,2],使得f(m)≥g(n),求实数b的取值范围. |
已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x、y∈R恒成立,在R上单调递减. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)若对一切x∈[,],关于x的不等式f[2sin2(+x)]-f(cos2x)-f(m)<0恒成立,求实数m的取值范围. |
若a,b∈R+,则使+≤m•恒成立的最小正数m=______. |
已知m,n,t均为实数,[u]表示不超过实数u的最大整数,若≤0对任意实数x恒成立,且m(1-P)+n(1+P)+t=0(n>m>0),则实数P的最大值为______. |
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