(Ⅰ)f′(x)=x2-2bx+2.--------------------------------------------------------------(1分) ∵x=2是f(x)的一个极值点, ∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根,解得b=.---------------------------(3分) 令f′(x)>0,则x2-3x+2>0,解得x<1或x>2.---------------------------(5分) ∴函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).--------------------------(6分) (Ⅱ)∵当x∈(1,2)时f′(x)<0,x∈(2,3)时f′(x)>0, ∴f(x)在(1,2)上单调递减,f(x)在(2,3)上单调递增.--------(8分) ∴f(2)是f(x)在区间[1,3]上的最小值,且 f(2)=+a.--------------(10分) 若当x∈[1,3]时,要使f(x)-a2>恒成立,只需f(2)>a2+,----(12分) 即+a>a2+,解得 0<a<1.----------------------------------------------------(13分) |