已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）＞0恒成立；
（3）判断并证明函数f（x）在R上的单调性． |
答案
（1）令y=0，x=-1，得f（-1）=f（-1）f（0）…（2分）
∵x＜0时，0＜f（x）＜1，
∴f（-1）＞0…（3分）
∴f（0）=1…（5分）
（2）∵当x＜0时，0＜f（x）＜1
∴当x＞0，则-x＜0，令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得f(x)=＞0…（7分）
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0…（8分）
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，∴0＜f（x1-x2）＜1…（10分）
∴f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）f（x2）＜f（x2）…（12分）
∴函数f（x）在R上是单调递增函数…（13分） |
举一反三
已知定义域为R的函数f（x）在区间（4，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+4）为偶函数，则（ ）| A．f（2）＞f（3） | B．f（2）＞f（5） | C．f（3）＞f（5） | D．f（3）＞f（6） |
|
| 已知y=f（x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象的对称轴是（ ） |
设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg是奇函数．
（1）求b的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性． |
| 若f（x）=atan4x-bsin32x+cx+7，且f（-1）=0，则f（1）的值等于 ______． |
| 若函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（-3）=0．则x•f（x）＜0的解集是______． |
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