(1)∵函数f(x)=ax+xln|x+b|是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),即a(-x)+(-x)ln|-x+b|=-(ax+xln|x+b|)…(2分), ∴ln|-x+b|=ln|x+b|,从而b=0…(3分), 此时f(x)=ax+xln|x|,f′(x)=a+1+ln|x|…(4分), 依题意f′(e)=a+2=3,所以a=1…(5分) (2)当x>1时,设g(x)==,则g′(x)=…(6分) 设h(x)=x-2-lnx,则h′(x)=1->0,h(x)在(1,+∞)上是增函数…(8分) 因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0,所以∃x0∈(3,4),使h(x0)=0…(10分), x∈(1,x0)时,h(x)<0,g′(x)<0,即g(x)在(1,x0)上为减函数;同 理g(x)在(x0,+∞0)上为增函数…(12分), 从而g(x)的最小值为g(x0)==x0…(13分) 所以k<x0∈(3,4),k的最大值为3…(14分). (3)证明:要证(nmm)n>(mnn)m,即要证nlnn+mnlnm>mlnm+mnlnn…(6分), 即证n(1-m)lnn>m(1-n)lnm,<…(8分), 设ϕ(x)=,x>1…(9分),则ϕ/(x)=…(10分) 设g(x)=x-1-lnx,则ϕ ′(x)=…(11分),g(x)在(1,+∞0)上为增函数…(12分), ∀x>1,g(x)>g(1)=1-1-ln1=0,从而ϕ′(x)>0,ϕ(x)在(1,+∞0)上为增函数…(13分), 因为m>n>1,所以ϕ(n)<ϕ(m),<, 所以(nmm)n>(mnn)m…(14分) |