已知函数f(x)=alnx+1x(a>0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,求实数a的取值范围;(

已知函数f(x)=alnx+1x(a>0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,求实数a的取值范围;(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=alnx+
1
x
(a>0)

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)是否存在实数a使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)
求导函数可得f′(x)=
a
x
-
1
x2
=
ax-1
x2

由f′(x)>0,可得x>
1
a
;由f′(x)<0,可得0<x<
1
a

∴函数f(x)的单调增区间为(
1
a
,+∞)
,单调减区间为(0,
1
a
)

x=
1
a
时,函数取得极大值为f(
1
a
)=-alna+a

(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,则
①2-lnx>0时,a≤
1
x(2-lnx)
恒成立
g(x)=
1
x(2-lnx)

g′(x)=
lnx-1
[x(2-lnx)]2

当lnx<1时,g′(x)<0,当1<lnx<2时,g′(x)>0,
∴lnx=1时,即x=e时,函数取得最小值为g(e)=
1
e

a≤
1
e

②2-lnx<0时,a≥
1
x(2-lnx)
恒成立
g(x)=
1
x(2-lnx)

g′(x)=
lnx-1
[x(2-lnx)]2

当2-lnx<0时,g′(x)>0,
∴函数在(e2,+∞)上单调增,函数无最大值,故此时a≥
1
x(2-lnx)
不恒成立;
∴实数a的取值范围是(-∞,
1
e
]

(Ⅲ)不存在a,使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0
由(Ⅰ)知函数f(x)的单调增区间为(
1
a
,+∞)
,单调减区间为(0,
1
a
)

1≤
1
a
≤e
,即
1
e
≤a≤1
,则函数f(x)在[1,e]上最小值为f(
1
a
)=-alna+a
=0,
∴a=e,不满足题意
0<
1
a
<1
,即a>1,则函数f(x)在[1,e]上最小值为f(1)=1,不满足题意
综上知,不存在a,使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0.
举一反三
x>0,y>0,且
2
x
+
1
y
=4
,若x+2y≥m2-2m-6恒成立,则m范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
x-a
x2+bx+1
是奇函数,则a2+b2值等于______.
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设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x)>0的解集为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(a)>f(b),则f(-a)______f(-b)(用“>”或“<”填空).
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-b(ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是
π
2
,若将f(x)的图象先向右平移
π
6
个单位,再向上平移


3
个单位,所得函数g(x)为奇函数.
(1)求f(x)的解析式;       
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若对任意x∈[0,
π
3
]
,f2(x)-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,求实数m的取值范围.
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