已知函数f(x)=2x(x∈R),且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数.若不等式2a•g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x(x∈R),且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数.若不等式2a•g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是______. |
答案
∵h(x)为定义在R上的偶函数,g(x)为定义在R上的奇函数 ∴g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x) 又∵由h(x)+g(x)=2x, h(-x)+g(-x)=h(x)-g(x)=2-x, ∴h(x)=(2x+2-x),g(x)=(2x-2-x) 不等式2ag(x)+h(2x)≥0在[1,2]上恒成立,化简为a(2x-2-x)+(22x+2-2x)≥0,x∈[1,2] ∵1≤x≤2∴2x-2-x>0 令t=2-x-2x, 整理得:a≥==+ =t+=(t+),则由-≤t≤-可知y=(t+)在[-,-]单调递增 ∴当t=-时,ymax=- 因此,实数a的取值范围是a≥- 故答案为a≥- |
举一反三
已知函数f(x)=loga(1+x)+loga(1-x)(a>0且a≠1) (1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由. (2)求函数y=f(x)的值域. |
已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2-1. (1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最值; (2)对于一切正数x,恒有f(x)≤k(x2-1)成立,求实数k的取值组成的集合. |
已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤),最大值与最小值的差为4,相邻两个最低点之间距离为π,且函数y=sin(2x+)图象所有的对称中心都在y=f(x)图象的对称轴上. (1)求f(x)的表达式; (2)若f()=(x0∈[-,]),求cos(x0-)的值; (3)设=(f(x-),1),=(1,mcosx),x∈(0,),若•+3≥0恒成立,求实数m的取值范围. |
已知奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f(log18)的值为______. |
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