设0<a<1,函数f(x)=logax+1x-1.(1)求函数f(x)定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明;(3)当f(x)>0时,求x的取值范围.
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设0<a<1,函数f(x)=logax+1x-1.(1)求函数f(x)定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明;(3)当f(x)>0时,求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设0<a<1,函数
f(x)=lo
g
a
x+1
x-1
.
(1)求函数f(x)定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(3)当f(x)>0时,求x的取值范围.
答案
(1)由函数f(x)的解析式可得
x+1
x-1
>0,即(x+1)(x-1)>0,解得 x<-1,或<x>1,
故函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)由于
f(x)=lo
g
a
x+1
x-1
的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称,
且满足f(-x)=
log
a
1-x
-x-1
=
log
a
x-1
x+1
=-
log
a
x+1
x-1
=-f(x),
故函数f(x)为奇函数.
(3)当f(x)>0时,∵0<a<1,∴
x+1
x-1
>0
x+1
x-1
<1
,即
(x+1)(x-1)>0
2
x-1
<0
,
解得 x<-1,故x的取值范围(-∞,-1).
举一反三
已知函数f(x)=2
x
(x∈R),且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数.若不等式2a•g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知
f(x)=
x
2
+2x-3
x-1
(x>1)
ax+1(x≤1)
在点x=1处连续,则a的值是( )
A.2
B.3
C.-2
D.-4
题型:单选题
难度:简单
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已知函数f(x)=log
a
(1+x)+log
a
(1-x)(a>0且a≠1)
(1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.
(2)求函数y=f(x)的值域.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=x
2
-1.
(1)求函数h(x)=f(x)-
1
2
g(x)的最值;
(2)对于一切正数x,恒有f(x)≤k(x
2
-1)成立,求实数k的取值组成的集合.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在R上的函数
f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤
π
2
)
,最大值与最小值的差为4,相邻两个最低点之间距离为π,且函数
y=sin(2x+
π
3
)
图象所有的对称中心都在y=f(x)图象的对称轴上.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若
f(
x
0
2
)=
3
2
(
x
0
∈[-
π
2
,
π
2
])
,求
cos(
x
0
-
π
3
)
的值;
(3)设
a
=(f(x-
π
6
),1)
,
b
=(1,mcosx)
,
x∈(0,
π
2
)
,若
a
•
b
+3≥0
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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