已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)在区间[1,a](a>2)上单调递增,且f(x)>0,则以下不等式不一定成立的是(  )A.f(1-3a1+a)

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)在区间[1,a](a>2)上单调递增,且f(x)>0,则以下不等式不一定成立的是(  )A.f(1-3a1+a)

题型:单选题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)在区间[1,a](a>2)上单调递增,且f(x)>0,则以下不等式不一定成立的是(  )
A.f(
1-3a
1+a
)>f(-2)
B.f(
1-3a
1+a
)>f(-a)
C.f(
a+1
2
)>f(


a
)
D.f(a)>f(0)
答案
因为f(x)为奇函数,所以f(
1-3a
1+a
)>f(-a)等价于f(
3a-1
1+a
)<f(a),
由a>2,得
3a-1
1+a
=3-
4
1+a
>3-
4
3
=
5
3
>1,且
3a-1
1+a
-a=
-(a-1)2
1+a
<0,即得1<
3a-1
1+a
<a,
又f(x)在区间[1,a]上单调递增,所以f(
3a-1
1+a
)<f(a),即f(
1-3a
1+a
)>f(-a)成立,排除B;
因为a>2,所以1<


a
a+1
2
<a,又f(x)在区间[1,a]上单调递增,所以f(
a+1
2
)>f(


a
)成立,排除C;
因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,又x∈[1,a]时,f(x)>0,所以f(a)>f(0)成立,排除D;
f(
1-3a
1+a
)>f(-2)等价于f(
3a-1
1+a
)<f(2),
3a-1
1+a
-2=
a-3
1+a
,因为a>2,所以
a-3
1+a
符号不定,即
3a-1
1+a
与2大小关系不确定,
所以f(
1-3a
1+a
)>f(-2)不一定成立.
故选A.
举一反三
已知函数f(x)的定义域为(3-2a,a+1),且f(x+1)为偶函数,则实数a的值可以是(  )
A.
2
3
B.2C.4D.6
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=xlnx.  
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)≥-x2+ax-6在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(Ⅰ)已知函数f(x)=
x2+mx+m
x
的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(Ⅱ)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式;
(Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知a,b,c为互不相等的三个正数,函数f(x)可能满足如下性质:
①f(x-a)为奇函数;②f(x+a)为奇函数;③f(x-b)为偶函数;④f(x+b)为偶函数.
类比函数y=sinx的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得出了如下结论:
(1)若满足①②,则f(x)的一个周期为4a;(2)若满足①③,则f(x)的一个周期为4|a-b|;(3)若满足③④,则f(x)的一个周期为3|a-b|.
其中正确结论的个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
1
2x-1
+
a1
1
t
dt
是奇函数,则a=(  )
A.
e
2
B.
1
e
C.


e
2
D.


e
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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