若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.(Ⅰ)已知函数f(x)=x2+mx+mx的图
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若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.(Ⅰ)已知函数f(x)=x2+mx+mx的图
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(Ⅰ)已知函数
f(x)=
x
2
+mx+m
x
的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(Ⅱ)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x
2
+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式;
(Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题设,∵函数
f(x)=
x
2
+mx+m
x
的图象关于点(0,1)对称,
∴f(x)+f(-x)=2,
∴
x
2
+mx+m
x
+
x
2
-mx+m
-x
=2
∴m=1…(4分)
(Ⅱ)∵函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,
∴g(x)+g(-x)=2,
∵当x∈(0,+∞)时,g(x)=x
2
+ax+1,
∴当x<0时,g(x)=2-g(-x)=-x
2
+ax+1…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)得
f(t)=t+
1
t
+1(t>0)
,其最小值为f(1)=3
g(x)=-
x
2
+ax+1=-(x-
a
2
)
2
+1+
a
2
4
,…(10分)
①当
a
2
<0
,即a<0时,
g
(x)
max
=1+
a
2
4
<3
,∴
a∈(-2
2
,0)
…(12分)
②当
a
2
≥0
,即a≥0时,g(x)
max
<1<3,∴a∈[0,+∞)…(13分)
由①、②得
a∈(-2
2
,+∞)
…(14分)
举一反三
已知a,b,c为互不相等的三个正数,函数f(x)可能满足如下性质:
①f(x-a)为奇函数;②f(x+a)为奇函数;③f(x-b)为偶函数;④f(x+b)为偶函数.
类比函数y=sinx的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得出了如下结论:
(1)若满足①②,则f(x)的一个周期为4a;(2)若满足①③,则f(x)的一个周期为4|a-b|;(3)若满足③④,则f(x)的一个周期为3|a-b|.
其中正确结论的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
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函数
f(x)=
1
2
x
-1
+
∫
a1
1
t
dt
是奇函数,则a=( )
A.
e
2
B.
1
e
C.
e
2
D.
e
题型:单选题
难度:简单
|
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对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定义函数{x}=x-[x],则给出下列四个命题:①函数{x}的定义域是R,值域为[0,1];②方程{x}=
1
2
有无数个解;③函数{x}是周期函数;④函数{x}是增函数.其中正确的序号是( )
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x
3
-3ax(a为常数).
(1)当x∈[0,1]时,求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数f(x)=
a-x
+
x+
a
2
-2
是偶函数,则实数a的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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